Векторные поля с нулевым потоком через сферы фиксированного радиуса

Классическим свойством периодической функции на вещественной оси является возможность ее представления тригонометрическим рядом Фурье. Естественным аналогом условия периодичности в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^n$ является постоянство интегралов от функции по всем шарам (или сферам) фиксированного радиуса. Функции с указанным свойством можно разложить в ряд по собственным функциям оператора Лапласа специального вида. Этот факт допускает обобщение на векторные поля в $\mathbb{R}^n$, имеющие нулевой поток через сферы фиксированного радиуса. При этом для них возникает представление Смита в виде суммы соленоидального векторного поля и бесконечного числа потенциальных векторных полей. Потенциальные векторные поля удовлетворяют уравнению Гельмгольца, связанному с нулями функции Бесселя $J_{n/2}$. Целью данной работы является получение локальных аналогов теоремы Смита. Изучаются векторные поля $\mathbf{A}$ с нулевым потоком через сферы фиксированного радиуса на областях $\mathcal{O}$ в евклидовом пространстве, инвариантных относительно вращений. Рассматриваются случаи, когда $\mathcal{O}=B_{R}=\{x\in\mathbb{R}^n:|x|<R \}$ или $\mathcal{O}=B_{a,b}=\{x\in\mathbb{R}^n:a<|x|<b \}$. Описание полей $\mathbf{A}$ состоит из двух шагов. На первом шаге доказывается равенство $\mathbf{A}({x}) = {\mathbf{A}}^s({x}) +B({x}){x}$, ${x}\in \mathcal{O}$, где ${\mathbf{A}}^s$ — подходящее соленоидальное векторное поле, ${B}$ — скалярное поле. Второй шаг состоит в описании функций $B(x)$. Основным инструментом для описания $B(x)$ являются многомерные ряды Фурье по сферическим гармоникам. Если $\mathcal{O}=B_{R}$, то коэффициенты Фурье функции $B(x)$ представимы рядами по гипергеометрическим функциям ${_1}F_2$. В случае, когда $\mathcal{O}=B_{a,b}$, соответствующие коэффициенты Фурье разлагаются в ряды, содержащие функции Бесселя, Неймана и Ломмеля. Результаты, полученные в работе, можно использовать при решении задач, связанных с гармоническим анализом векторных полей на областях в $\mathbb{R}^n$.