Some estimates for the generalized Fourier transform associated with the Cherednik–Opdam operator on $\mathbb{R}$

В классической теории приближения функций на $\mathbb{R}^+$, модуль гладкости в основном строится посредством операторов сдвига $f(\cdot)\mapsto f(\cdot + y)$. Поскольку понятие оператора сдвига было расширено в различных направлениях (см. [2] и [3]), были обнаружено много других обобщенных модулей гладкости. Часто при изучения взаимосвязи свойств гладкости функции и наилучшего приближения этой функции в весовых функциональных пространствах такие обобщенные модули гладкости оказываются более удобными, чем обычные (см. [4] и [5]). В работе [1] Абилов и др. для преобразования Фурье в пространстве квадратично интегрируемых функций доказали с использованием оператора сдвига две полезные оценки на некоторых классах функций, характеризуемых обобщенным модулем непрерывности. В данной статье мы также обсуждаем этот вопрос. Более конкретно, мы доказываем некоторые оценки (аналогичные доказанным в [1]) в классах функций, характеризуемых обобщенным модулем непрерывности и связанных с обобщенным преобразование Фурье, ассоциированное с дифференциально-разностным оператором $T^{(\alpha, \beta)}$ в пространстве $L^{2}_{\alpha,\beta}(\mathbb{R})$. Для этой цели мы используем обобщенный оператор сдвига.