Об одном семействе функциональных уравнений

$(n+1)$-мерная геометрия локальной максимальной подвижности задается некоторой невырожденной и дифференцируемой функцией пары точек $f$ на многообразии $M$, являющимся инвариантом группы движений размерности $(n+1)(n+2)/2$. Полной классификации таких геометрий размерности $n+1$ пока нет, но хорошо известны отдельные примеры: гоеметрия евклида, симплектическая геометрия, геометрии постоянной кривизны. В последнее время методом вложения были найдены некоторые ранее неизвестные геометрии локальной максимальной подвижности. Метод вложения дает возможность нахождения функций $f$, задающих $(n+1)$-мерные геометрии локальной максимальной подвижности, по функциям $\theta$ известных $n$-мерных геометрией локальной максимальной подвижности. Эта задача сводится к решению функциональных уравнений специального вида, являющихся следствием инвариантности функции пары точек $f$ относительно группы движений. Такие уравнения решаются в данной работе. Дифференцированием они сводятся сначала к функционально-дифференциальным уравнениям, от которых разделением переменных переходим к дифференциальным уравнениям. Затем решения последних уравнений подставляем в исходные функциональные уравнения, после чего получаем окончательный результат.