Об описании пространства риссовых потенциалов функций из банаховых пространств с некоторыми априорными свойствами

Рассматривается задача описания пространства $I^\alpha(X)$ функций, представимых риссовым потенциалом ${I}^\alpha \varphi$ с плотностью $\varphi$ из заданного пространства $X.$ Предполагается, что $X\subset \Phi'$, где $\Phi'$ — пространство распределений над основным классом $\Phi$ Лизоркина, инвариантным относительно риссова интегрирования, и образ $I^\alpha(X)$ понимается в смысле распределений. В такой общей постановке поясняется вопрос, при каких предположениях о пространстве $X$ принадлежность элемента $f$ из образа $I^\alpha(X)$ эквивалентна сходимости усеченных гиперсингулярных интегралов $\mathbb D_\varepsilon^\alpha f$ в пространстве $X.$ Для этой цели вначале указанный вопрос исследуется в контексте топологии пространства $\Phi.$ Именно, показывается, что для любого линейного подмножества $X$ в $\Phi'$ принадлежность элемента $f$ образу $ I^\alpha (X) $ эквивалентна сходимости усеченных гиперсингулярных интегралов на множестве $X$ в топологии пространства $\Phi'$. Если $X$ — банахово пространство, то переход от принадлежности образу к сходимости усеченных гиперсингулярных интегралов по норме доказывается с точностью до аддитивного многочлена в предположении, что некоторая специальная конволюция является аппроксимацией единицы в пространстве $X$. Известно, что последнее выполняется для многих банаховых функциональных пространств и справедливо для всех тех функциональных пространств $X$, в которых ограничен максимальный оператор. Обратный переход доказывается для функционального пространства Банаха $X$, обладающего тем свойством, что ассоциированное с ним пространство $X'$ содержит основной класс Лизоркина.