Characterizations of finite dimensional Archimedean vector lattices

Статья посвящена условиям конечномерности архимедовых векторных решеток. Найдены три новые характеризации таких решеток. Первая описывает конечномерность векторной решетки $A$ на языке ее универсального пополнения $A^{u}$. Вторая утверждает, что векторная решетка конечномерна в том и только в том случае, когда выполнено одно из следующих двух условия: (а) всякий максимальный модулярный алгебраический идеал в $A^{u}$ равномерно полон; (б) $\mathrm{Orth}\,(A,A^{u})=Z(A,A^{u})$, где $\mathrm{Orth}\,(A,A^{u})$ векторная решетка всех ортоморфизмов из $A$ в $A^u$, а $Z(A,A^{u})$ — подрешетка, состоящая из ортоморфизмов $\pi$, удовлетворяющих условию $|\pi(x)|\leq\lambda|x|$ $(x\in A)$ при некотором положительном $\lambda\in\mathbb{R}$. Хорошо известно, что всякая универсально полная векторная решетка представляется в виде $C^\infty(X)$ для некоторого экстремально несвязного компакта $X$. Точку $x\in X$ называют $\sigma$-изолированной, если пересечение любой последовательности окрестностей точки $x$ является окрестностью точки $x$. Третья характеризация состоит в том, что векторная решетка $A$ с универсальным расширением $A^u=C^\infty(X)$ конечномерна тогда и только тогда, когда каждая точка в $X$ $\sigma$-изолирована. В качестве приложения получен положительный ответ на вопрос Брезара о существовании новых примеров алгебр, определяемых нулевыми произведениями.