О циклических подгруппах полной линейной группы третьей степени над полем нулевой характеристики

В работе с помощью понятия спектра матрицы дается явный вид элементов любой циклической подгруппы полной линейной группы $GL_3(F)$ третьей степени над полем $F$ нулевой характеристики. В отличие от итерационных методов возведения матриц в степень каждый элемент циклической подгруппы $\langle M \rangle$ группы $GL_3(F)$ выражен в виде линейной комбинации матриц $M^{0}$, $M$, $M^{2}$, коэффициенты которых вычисляются через определители третьего порядка, составленные из некоторых степеней собственных значений матрицы $M$. По существу мы предлагаем новый подход, основанный на одном свойстве характеристических корней многочлена от матрицы. Отметим также, что излагаемый метод предполагает заранее известными собственные значения матрицы. Это требование, например, всегда выполняется для матриц треугольного вида, при этом вопрос об отыскании собственных значений матриц, которому посвящена довольно обширная литература, в нашу задачу не входит. Наконец, опираясь на результат о явном виде элементов любой циклической подгруппы группы $GL_3(F)$, выводится также формула для числа циклических подгрупп простого порядка $p$ полной линейной группы $GL_3(K^{(p)})$ над $p$-круговым полем $K^{(p)}$ нулевой характеристики, что представляет самостоятельный интерес в теории бесконечных групп.