Теорема о вложении элементарной сети

Пусть $\Lambda$ — произвольное коммутативное кольцо с единицей, $n$ — натуральное число, $n\geq 2$. Система $ \sigma = (\sigma_{ij}),$ $1\leq{i, j} \leq{n},$ аддитивных подгрупп $\sigma_{ij}$ кольца $\Lambda$ называется сетью (ковром) над кольцом $\Lambda$ порядка $n$, если $ \sigma_{ir} \sigma_{rj} \subseteq{\sigma_{ij}}$ при всех значениях индексов $i$, $r$, $j.$ Сеть, рассматриваемая без диагонали, называется элементарной сетью. Элементарная сеть $\sigma = (\sigma_{ij})$, $1\leq{i\neq{j} \leq{n}}$, называется дополняемой (до полной сети), если для некоторых аддитивных подгрупп (точнее, подколец) $\sigma_{ii}$ кольца $\Lambda$ таблица (с диагональю) $\sigma = (\sigma_{ij}), 1\leq{i, j} \leq{n}$ является (полной) сетью. Другими словами, элементарная сеть $\sigma$ является дополняемой, если ее можно дополнить (диагональю) до (полной) сети. Пусть $\sigma = (\sigma_{ij})$ — элементарная сеть над кольцом $\Lambda$ порядка $n$. Рассмотрим набор $\omega = (\omega_{ij})$ аддитивных подгрупп $\omega_{ij}$ кольца $\Lambda$, определенных для любых $i\neq{j}$ формулой $\omega_{ij}=\sum_{k=1}^{n}\sigma_{ik}\sigma_{kj}$, где суммирование берется по всем $k$, отличным от $i$ и $j$. Набор $\omega= (\omega_{ij})$ аддитивных подгрупп $\omega_{ij}$ кольца $\Lambda$ является элементарной сетью, которую мы называем элементарной производной сетью. Элементарную сеть $\omega$ можно дополнить до (полной) сети стандартным способом, а также другим способом, который мы предлагаем в статье. Вводится также понятие сети $\Omega=(\Omega_{ij})$, которую мы называем сетью, ассоциированной с элементарной группой $E(\sigma)$. Следующая теорема является основным результатом статьи: Элементарная сеть $\sigma$ индуцирует элементарную производную сеть $\omega=(\omega_{ij}) $ и сеть $\Omega=(\Omega_{ij})$, ассоциированную с элементарной группой $E(\sigma)$, причем $\omega\subseteq \sigma \subseteq \Omega$. Если $\omega=(\omega_{ij})$ дополнить диагональю до полной стандартным способом, то для произвольного $r$ и любых $i\neq j$ будет $\omega_{ir}\Omega_{rj} \subseteq \omega_{ij}$ и $\Omega_{ir}\omega_{rj} \subseteq \omega_{ij}$. Если же $\omega=(\omega_{ij})$ дополнить диагональю до полной вторым способом, то последние включения выполняются для любых $i$, $r$, $j$.