Derivations on Banach $*$-ideals in von Neumann algebras

Известно, что любое дифференцирование $\delta: M \to M$ на алгебре фон Неймана $\mathcal M$ является внутренним, т. е. $\delta(x) := \delta_a(x) =[a, x] =ax -xa$, $x \in \mathcal M$, для некоторого $a \in \mathcal M$. Если $H$ сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство и $\mathcal K(H)$ есть $C^*$-подалгебра компактных операторов в $C^*$-алгебре $\mathcal B(H)$ всех ограниченных линейных операторов, действующих в $H$, то каждое дифференцирование $\delta: \mathcal K(H) \to \mathcal K(H)$ есть специальное дифференцирование, т. е. существует такой оператор $ a \in \mathcal B(H)$, что $\delta(x) = [x, a]$ для всех $x \in K(H)$. В недавней работе А. Ф. Бера, В. И. Чилина, Г. Б. Левитиной, Ф. А. Сукочева (JMAA, 2013) установлено, что каждое дифференцирование $\delta\colon \mathcal{E}\to \mathcal{E}$ на любом банаховом симметричном идеале компактных операторов $\mathcal{E} \subseteq\mathcal K(H)$ также является пространственным. Мы показываем, что аналогичный результат верен и для произвольных банаховых $*$-идеалов в любой алгебре фон Неймана $\mathcal{M}$. Более точно: Если $\mathcal{M}$ любая алгебра фон Неймана, $\mathcal{E}$ банаховый $*$-идеал в $\mathcal{M}$ и $\delta\colon \mathcal{E}\to \mathcal{E}$ есть дифференцирование на $\mathcal{E}$, то существует такой элемент $ a \in \mathcal{M}$, что $\delta(x) = [x, a]$ для всех $x \in \mathcal{E}$, т. е. $\delta $ есть пространственное дифференцирование.