Среднеквадратичное приближение функций комплексной переменной рядами Фурье в весовом пространстве Бергмана

В работе рассматривается задача среднеквадратичного приближения функций комплексного переменного, регулярных в некоторой односвязной области, $\mathcal{D}\subset\mathbb{C}$ рядами Фурье по ортогональным системам при наличии неотрицательной интегрируемой в $\mathcal{D}$ весовой функции $\gamma:=\gamma(|z|)$, т. е. когда $f\in L_{2,\gamma}:=L_{2}(\gamma(|z|),D)$. Ранее В. А. Абилов, Ф. В. Абилова и М. К. Керимов в $L_{2,\gamma}$ исследовали вопросы отыскания точных оценок скорости сходимости рядов Фурье функций $f\in L_{2,\gamma}$ и доказали некоторые точные неравенства типа Джексона, вычислили значение колмогоровского $n$-поперечника некоторых классов функций [9]. При этом широко использовали специальный вид оператора обобщенного сдвига, благодаря которому ввели обобщенный модуль непрерывности $m$-го порядка и на его основе — классы функций, определяемые заданной монотонно возрастающей на $\mathbb{R}_{+}:=[0,+\infty)$ мажорантой.
В настоящей работе продолжается исследование указанных авторов, а именно, доказывается точное неравенство Джексона — Стечкина между величиной наилучшего приближения комплексными алгебраическими полиномами функций $f\in L_{2,\gamma}$ и $L_{p}$-нормой обобщенного модуля непрерывности. Изучаются аппроксимативные свойства классов функций, у которых $L_{p}$-норма обобщенного модуля непрерывности имеет заданную мажоранту.
При некоторых условиях на мажоранте для введенных классов функций в $L_{2,\gamma}$ вычисляются бернштейновский, гельфандовский, колмогоровский, линейный и проекционный $n$-поперечники. Доказывается, что все поперечники совпадают и оптимальными подпространствами являются подпространства алгебраических комплексных полиномов.