2-Local derivations on algebras of matrix-valued functions on a compactum

В 1997 г. P. Ŝemrl ввел понятие 2-локального дифференцирования и описал 2-локальные дифференцирования на алгебре $B(H)$ всех ограниченных линейных операторов в бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве $H$. После этого, ряд работ был посвящен 2-локальным дифференцированиям на разных типах колец, алгебр, банаховых алгебр и банаховых пространств. Аналогичное описание для конечномерного случая появилось позднее в работе С. О. Кима и Дж. С. Кима. Й. Лин и Т. Вонг описали 2-локальные дифференцирования на матричных алгебрах над конечномерным делимым кольцом. Ш. А. Аюпов и К. К. Кудайбергенов предложили новую технику и обобщили упомянутые выше результаты для произвольных гильбертовых пространств. А именно, они рассмотрели 2-локальные дифференцирования на алгебре $B(H)$ всех линейных ограниченных операторов в произвольном гильбертовом пространстве $H$ и доказали, что всякое 2-локальное дифференцирование на $B(H)$ является дифференцированием. После этого опубликован ряд работ, посвященных 2-локальным дифференцированиям на ассоциативных алгебрах.
В настоящей работе описаны 2-локальные дифференцирования на различных алгебрах бесконечномерных матрично-значных функций на компакте. Мы развиваем алгебраический подход к исследованию дифференцирований и 2-локальных дифференцирований на алгебрах бесконечномерных матрично-значных функций на компакте и доказываем, что каждое такое 2-локальное дифференцирование является дифференцированием. В качестве основного результата работы установлено, что каждое 2-локальное дифференцирование на $*$-алгебре $C(Q, M_n (F)) $ или $C (Q,\mathcal{N}_n (F))$, где $Q$ — компакт, $M_n(F)$ — $*$-алгебра бесконечномерных матриц над комплексными числами (вещественными числами или кватернионами), $\mathcal{N}_n(F)$ — $*$-подалгебра в $M_n(F)$ является дифференцированием. Также поясняется, что разработанный в данной работе метод может быть применен к йордановым и лиевым алгебрам бесконечномерных матрично-значных функций на компакте.