The uniqueness of the symmetric structure in ideals of compact operators

Пусть $H$ — сепарабельное бесконечномерное комплексное гильбертово пространство, $\mathcal L(H)$ — $C^*$-алгебра ограниченных линейных операторов, действующих в $H$, $\mathcal K(H)$ — двусторонний идеал в $\mathcal L(H)$ всех компактных операторов. Пусть $(E, \|\cdot\|_E)$ — симметричное пространство последовательностей, $\mathcal{C}_E:=\{ x \in \mathcal K(\mathcal H) : \{s_n(x)\}_{n=1}^\infty \in E\}$ — собственный двусторонний идеал в $\mathcal L(H)$, порожденный $(E, \|\cdot\|_E)$, где $\{s_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ сингулярные числа компактного оператора $x$. Известно, что $\mathcal{C}_E$ — банахов симметричный идеал относительно нормы $ \|x\|_{\mathcal C_E}=\|\{s_n(x)\}_{n=1}^{\infty}\|_E$.
Говорят, что симметричный идеал $\mathcal{C}_E$ имеет единственную симметричную структуру, если наличие изоморфизма из $(\mathcal{C}_E, \|\cdot\|_{\mathcal{C}_E})$ на другой симметричный идеал $(\mathcal{C}_F, \|\cdot\|_{\mathcal{C}_F})$ обязательно влечет равенство $\mathcal{C}_E = \mathcal{C}_F$, т. е. $E = F$, с точностью до эквивалентных норм. На международной конференции по теории банаховых пространств и их приложений (Kent, Ohio, August 1979), А. Пельчинский поставил следующую проблему:
(P): Каждый ли симметричный идеал имеет единственную симметричную структуру?
Эта проблема получила положительное решение в работе J. Arazy и J. Lindenstrauss (1975) для идеалов Шаттена $\mathcal{C}_p$, $1\leq p < \infty$. В случае произвольных симметричных идеалов проблема (P) до сих пор не решена. Мы рассматриваем вариант проблемы (P), заменяя наличие изоморфизма $U:(\mathcal{C}_E, \|\cdot\|_{\mathcal{C}_E}) \to (\mathcal{C}_F, \|\cdot\|_{\mathcal{C}_F})$ на существование положительной линейной сюръективной изометрии. Мы показываем, что в случае строго симметричного пространства последовательностей $F$, каждая положительная линейная сюръективная изометрия $U:(\mathcal{C}_E, \|\cdot\|_{\mathcal{C}_E}) \to (\mathcal{C}_F, \|\cdot\|_{\mathcal{C}_F})$ имеет следующий вид: $U(x) = u^*xu$ для всех $x \in \mathcal C_E$, где $u \in \mathcal L(H)$ есть унитарный или антиунитарный оператор. Используя это описание положительных линейных сюръективных изометрий, доказывается, что наличие такой изометрии $U:\mathcal{C}_E \to \mathcal{C}_F$ влечет равенство $(E,\|\cdot\|_E)=(F, \|\cdot\|_F)$.