Дифференцирования со значениями в идеальных $F$-пространствах измеримых функций

Известно, что на любой коммутативной алгебре фон Неймана $\mathcal{L}_{\infty}(\Omega, \mu)$ каждое дифференцирование тождественно равно нулю. В то же время, на коммутативной алгебре $\mathcal{L}_{0}(\Omega, \mu)$ всех комплексных измеримых функций, заданных на неатомическом пространстве с мерой $(\Omega,\mu)$, всегда существуют ненулевые дифференцирования. При этом каждое дифференцирование на $\mathcal{L}_{\infty}(\Omega, \mu)$, принимающее значения в нормированном идеальном подпространстве $X\subset \mathcal{L}_{0}(\Omega,\mu)$, обязательно является нулевым. Аналогичный факт остается верным и для квазинормированных идеальных подпространств $X \subset \mathcal{L}_{0}(\Omega, \mu)$.
Естественно возникает вопрос о существовании ненулевых дифференцирований, определенных на $\mathcal{L}_{\infty}(\Omega, \mu) $, со значениями в $F$-нормируемом идеальном пространстве $X \subset \mathcal{L}_{0}(\Omega, \mu)$, т. е. идеальном пространстве, снабженном монотонной $F$-нормой. Мы даем необходимые и достаточные условия для полных $F$-нормируемых идеальных пространств $X$, обеспечивающие наличие ненулевых дифференцирований $\delta: \mathcal{L}_{\infty}(\Omega, \mu) \to X $. В частности, показано, что в случае порядковой полунепрерывности $F$-нормы $\|\cdot\|_X$ каждое дифференцирование $\delta: \mathcal{L}_{\infty}(\Omega, \mu) \to (X, \|\cdot\|_X)$ является нулевым. В то же время, наличие неатомического идемпотента $0 \neq e \in X$, $\mu(e) < \infty$, для которого топология сходимости по мере в $e\cdot X$ совпадает с топологией, порожденной $F$-нормой, обеспечивает существование ненулевого дифференцирования из $\mathcal{L}_{\infty}(\Omega, \mu)$ в $X$. Примерами таких $F$-нормируемых идеальных пространств служат алгебры $\mathcal{L}_{0}(\Omega, \mu)$ для неатомических измеримых пространств $(\Omega, \mu)$, наделенные $F$-нормой $\|f\|_{\Omega}=\int_{\Omega} \frac{|f|}{1+|f|} d \mu$. Для таких $F$-пространств имеется не менее континуума попарно различных ненулевых дифференцирований из $\mathcal{L}_{\infty}(\Omega, \mu)$ в $(\mathcal{L}_{0}(\Omega, \mu), \|\cdot\|_{\Omega})$.