Парные интегральные операторы с однородными ядрами, возмущенные операторами мультипликативного сдвига

В пространстве $L_p(\mathbb{R}^n)$, где $1\leqslant p\leqslant \infty$, рассматривается оператор $B$, представляющий собой сумму двух слагаемых. Первое слагаемое — это парный многомерный интегральный оператор, ядра которого однородны степени $(-n)$ и инвариантны относительно группы вращений пространства $\mathbb{R}^n$, а второе слагаемое — сходящийся по операторной норме ряд, составленный из многомерных операторов мультипликативного сдвига с комплексными коэффициентами. На ядра и коэффициенты оператора $B$ накладываются некоторые дополнительные условия, обеспечивающие его ограниченность в пространстве суммируемых функций. Основная цель работы заключается в исследовании обратимости оператора $B$. Для решения этой задачи применяется специальный метод, позволяющий осуществить редукцию многомерного парного оператора к бесконечной последовательности одномерных парных операторов $B_m$, где $m\in\mathbb{Z}_+$. Показано, что oneратор $B$ обратим в том и только в том случае, когда обратимы все операторы $B_m$, где $m$ пробегает все значения от нуля до некоторого конечного числа $m_0$. В свою очередь, oneраторы $B_m$ сводятся к интегрально-разностным операторам свертки, теория которых хорошо известна. Все это позволило для рассматриваемого оператора $B$ определить символ, который представляет собой пару функций $(\beta_1(m,\xi), \beta_2(m,\xi))$, заданных на множестве $\mathbb{Z}_+\times \mathbb{R}$. Если символ является невырожденным, то естественным образом определяются вещественное число $\nu$ и целые числа $\varkappa_m$, где $m\in\mathbb{Z}_+$, называемые индексами. Основной результат работы — критерий обратимости в пространстве $L_p(\mathbb{R}^n)$ многомерного парного оператора $B$. Согласно этому критерию, оператор $B$ обратим тогда и только тогда, когда его символ является невырожденным, а все его индексы равны нулю.