Об одной теореме о неявных функциях в негладком случае

Рассматривается уравнение вида $F(x, y) = 0$, $x\in X$, $y\in M$, где $M$ — некоторое множество. Методом шатров (касательных конусов), когда множество $M$ задано негладким ограничением типа равенства, доказывается существование такой дифференцируемой функции $y$, что $F(x,y(x))=0$, $y(x)\in M$, $y(x_0)=y_0$. В частности, методом шатров исследуется вопрос существования гладких локальных селекторов для многозначных отображений вида $a(x) = \{y \in \mathbb{R}^m:\, f_i(x, y) = 0,\, i \in I,\, g(y) = 0\}$, $x \in \mathbb{R}^n$. Предполагается, что функции $f_i$, $i \in I$, строго дифференцируемы, а функция $g$ локально липшицева. При некоторых достаточных условиях доказано, что через любую точку графика многозначного отображения проходит дифференцируемый селектор этого отображения. Это утверждение можно интерпретировать как теорему о неявных функциях в негладком случае. В статье также построены строго дифференцируемые шатры В. Г. Болтянского для множеств, задаваемых негладкими ограничениями типа равенств. Приведено достаточное условие, при котором пересечение строго дифференцируемых шатров является строго дифференцируемым шатром. Показано, что касательные конусы Кларка являются шатрами Болтянского для множеств, задаваемых локально липшицевыми функциями.