Приближение непрерывных функций средними Валле — Пуссена для дискретных сумм Фурье — Якоби

Рассмотривается система $\{P_i^{\alpha,\beta}(x)\}_{i=0}^{N-1}$ $(N=1,2,\dots)$ многочленов Якоби, образующих ортогональную систему на дискретном множестве $\Omega_N=\{x_1, x_2,\dots,x_N\}$, состоящем из нулей многочлена Якоби $P_N^{\alpha,\beta}(x)$. Для произвольной непрерывной на отрезке $[-1,1]$ функции $f(t)$ построены средние типа Валле — Пуссена $v_{m,n,N}^{\alpha,\beta}(f)=v_{m,n,N}^{\alpha,\beta}(f,t)$ для дискретных сумм Фурье — Якоби по ортонормированной системе $\{\widehat{P}_n^{\alpha,\beta}(t)= \{h_n^{\alpha,\beta}\}^{-1/2}P_n^{\alpha,\beta}(t)\}_{n=0}^{N-1}$. Доказано, что при условии $-1/2<\alpha,\beta<1/2$, $m\le aN$ $(0<a<1)$, $0<bm\le n\le dm$ $(a,b,d\in \mathbb{R})$ $v_{m,n,N}^{\alpha,\beta}(f,t)$ приближают $f(t)$ на отрезке $[-1,1]$ со скоростью наилучшего приближения $E_m(f)$.