Задача для параболического уравнения с двумя свободными границами

В данной работе рассматривается задача типа Стефана с двумя свободными границами для квазилинейного параболического уравнения в одномерном случае. Исследование нелинейных задач со свободными границами методом, основанным на построении априорных оценок. Поэтому сначала устанавливаются некоторые первоначальные априорные оценки для решения рассматриваемой задачи. Основной трудностью при построении теории для задач квазилинейных параболических уравнений второго порядка является получение априорной оценки модуля производной решение, а также в задачах со свободной границей требуются дополнительные рассуждения. Для этого задача сводится к задаче с фиксированной границей через замену переменных. Полученная задача имеет зависящие от времени и положения в пространстве коэффициенты с нелинейными слагаемыми. Далее построены априорных оценок типа Шаудера для решения уравнения с нелинейными слагаемыми и закрепленной границей. На основе полученных оценок доказана единственность решения задачи. Затем мы доказываем глобальное существование решения задачи с помощью теоремы Лерэ-Шаудера о неподвижной точке.