Численно-аналитический метод преобразований для анализа нелинейных математических моделей полиномиальной структуры

Рассматривается научная задача исследования математических моделей с полиномиальной нелинейностью, которые представлены системами нелинейных дифференциальных уравнений. Для исследования нелинейных динамических систем со многими степенями свободы полиномиальной структуры предложен численно-аналитический метод преобразования. В отличие от аналогов данный метод позволяет решать широкий спектр задач для нелинейных систем общей полиномиальной структуры при сокращении ресурсоемкости вычислений. Приведен алгоритм метода преобразований для исследования нелинейных динамических систем с $m$ степенями свободы. Выполнено исследование устойчивости решения нелинейных динамических систем с $m$ степенями свободы. Приведены алгоритмические формулы метода преобразований для решения систем с нелинейностью четвертой степени. Вычислительные эксперименты по решению систем дифференциальных уравнений с малой нелинейной частью в форме многочлена шестой степени методом преобразований подтверждают точность четвертого порядка при вычислении. Представленным методом преобразований исследована нелинейная математическая модель виброзащитной системы. Доказана теорема об определении методом преобразований стационарного состояния для систем дифференциальных уравнений полиномиальной структуры. Представлены алгоритмические формулы метода для вычисления и общая матричная форма для векторных индексов. Для экономичного вычисления правых частей полиномиальной структуры представлены формулы и предложено применить схему Пана с предварительной обработкой коэффициентов. Метод позволяет исследовать различные режимы динамики нелинейных моделей, например, определять такие экстремальные режимы, как резонанс, субгармонический, полигармонический режим. В качестве примера применения метода решена задача виброзащиты вышки управления полетами от внешних периодических воздействий. Решение, построенное методом преобразований, учитывает все нелинейные компоненты полиномов. Метод позволяет выполнять исследование динамики широкого круга нелинейных систем с необходимой точностью.