Численное решение нестационарного дробного дифференциального уравнения в задачах моделирования распространения токсичных веществ в подземных водах

В настоящее время во многих областях науки для моделирования различных процессов широко применяется теория дробного исчисления. Дифференциальные уравнения с производными дробного порядка используются при моделировании миграции токсичных веществ в пористых неоднородных средах и позволяют более корректно описать поведение токсичных веществ на больших расстояниях от источника. Аналитическое решение дифференциальных уравнений с производными дробного порядка зачастую оказывается очень сложным или даже невозможным. Предложен численный метод решения дифференциальных уравнений в частных производных дробного порядка по времени для описания миграции токсичных веществ в подземных водах. Для численного решения нестационарного дробного дифференциального уравнения разработана неявная разностная схема, являющаяся аналогом известной неявной разностной схемы Кранка–Николсона. Система разностных уравнений представлена в матричном виде. Решение задачи сводится к многократному решению трехдиагональной системы линейных алгебраических уравнений методом прогонки. Представлены результаты оценки распространения токсичного вещества в подземных водах на основе численного метода для модельных примеров. Выполнено сравнение концентраций вещества, полученных на основе аналитического и численного решения нестационарного одномерного дробного дифференциального уравнения. Результаты, полученные с помощью предлагаемого метода и на основании известного аналитического решения дробного дифференциального уравнения, достаточно хорошо согласуются между собой. Относительная ошибка составляет в среднем 9%. В отличие от известного аналитического решения разработанный численный метод может использоваться при моделировании распространения токсичных веществ в подземных водах с учетом их биодеградации.