Сеточная аппроксимация сингулярно возмущенного квазилинейного параболического уравнения конвекции-диффузии на априорно адаптирующихся сетках

Рассматривается начально-краевая задача для сингулярно возмущенного квазилинейного параболического уравнения конвекции-диффузии; строятся разностные схемы (нелинейная и линеаризованная) на априорно (последовательно) адаптирующихся сетках и исследуется их сходимость. Для такой задачи решение классической разностной схемы на равномерной сетке сходится со скоростью $\mathcal O((\varepsilon+N^{-1})^{-1}N^{-1}+N_0^{-1})$, где $N+1$ и $N_0+1$ — число узлов равномерных сеток по $x$ и $t$ соответственно; схема сходится лишь при условии $N^{-1}\ll\varepsilon$. В настоящей работе построение схемы на априорно адаптирующихся сетках проводится на основе мажоранты сингулярной компоненты сеточного решения, позволяющей по возмущающему параметру $\varepsilon$, шагу равномерной сетки по $x$, а также по требуемой точности сеточного решения и задаваемому числу итераций $K$ для уточнения решения априорно указать подобласть, на которой сеточное решение требует дальнейшего уточнения. При решении сеточных задач в процессе уточнения решения на подобластях используются равномерные сетки. Ошибка сеточного решения слабо зависит от величины параметра $\varepsilon$; схема сходится почти $\varepsilon$-равномерно, а именно при условии $N^{-1} \ll \varepsilon^{\nu}$, где величина $\nu=\nu(K)$ может быть выбрана сколь угодно малой при подходящем достаточно большом $K$.