Точно уравновешенные поля: могут ли они быть эффективно использованы для получения апостериорных оценок погрешности

Показывается, что конструктивное определение линеалов тензоров напряжений, удовлетворяющих уравнениям равновесия, является простой для численной реализации операцией. Это позволяет эффективно применять классические апостериорные оценки погрешности приближенных решений краевых задач, проистекающие из двух взаимно дополнительных принципов — принципа Лагранжа минимума энергии деформации и принципа Кастильяно минимума дополнительной работы, являющегося двойственным по отношению к первому. Применительно к задачам линейной теории упругости в таких оценках энергия погрешности приближенного решения, удовлетворяющего всем геометрическим условиям, оценивается энергией, отвечающей разности тензора напряжений приближенного решения и любого тензора напряжений, удовлетворяющего уравнениям равновесия. Вопреки распространенному мнению о большой вычислительной трудоемкости построения уравновешенных тензоров, близких получаемым посредством МКЭ (метода конечных элементов), мы показываем, что во многих случаях это может быть сделано за оптимальное число арифметических действий. Доказываются также новые апостериорные оценки посредством неуравновешенных тензоров напряжений. По сравнению с известными оценками, содержащими, например, в случае уравнения Пуассона норму невязки (в уравнении баланса для используемого вектора потока) в пространстве $H^{-1}$, они вычисляемы и более точны. Приводятся ряд алгоритмов вычисления апостериорных оценок для уравнения Пуассона и системы уравнений теории упругости и результаты численных экспериментов, подтверждающих весьма высокую эффективность алгоритмов и их робастность.