Статистика дробных моментов: новый метод количественного «прочтения» произвольной случайной последовательности

Найден статистический смысл моментов целого $\Delta_N^{(p)}$ ($p=1,2,\ldots$) и дробного $\Delta_N^{(p)}$ ($0<p<\infty $) порядков, рассчитанных для некоторой случайной последовательности, содержащей $N$ произвольных точек. Моменты высших порядков позволяют свести анализируемую случайную последовательность к некоторому конечному набору $k$ статистически устойчивых целых моментов $\Delta_k^{(p)}$ ($p=1,2,\ldots, k$), принадлежащих исходной последовательности. Найденные условия статистической устойчивости и близости, выраженные в терминах высших моментов $\Delta_N^{(p)}=\Delta_{N+k}^{(p)}$ ($p=1,2,\ldots,k$), позволяют найти $k$ неизвестных устойчивых точек и предсказать возможное будущее (устойчивое по отношению к прошлому времени) поведение анализируемой случайной последовательности. Функция обобщенного среднего (ФОС), определяемая как $G_N^{(p)}=({\Delta_N^{(p)}})^{1/p}$, может быть эффективно использована при анализе статистически близких случайных последовательностей, содержащих большое число измеренных точек ($N\gg1$). Найдены приближенные аналитические выражения для ФОС $G_N^{(p)}$ для произвольных значений $p$ из интервала ($-\infty<p<\infty$). Они дают возможность подогнать произвольную случайную последовательность, преобразованную в пространстве моментов в детерминированную ФОС, и выразить количественно исходную случайную последовательность в терминах некоего «универсального» набора редуцированных (подгоночных) параметров, входящих в приближенное аналитическое выражение для ФОС. Эти подгоночные параметры могут быть использованы для построения так называемой калибровочной кривой, когда возникает необходимость сравнения одной случайной последовательности с другой по отношению к изменениям некоторого внешнего доминантного фактора (малого сигнала). Целочисленные моменты легко обобщаются на дробные и даже комплексные моменты, которые позволяют ввести определение нецелых моментов и ФОС, содержащие комплексные величины. ФОС может быть также рассмотрена как функция двух и более переменных для анализа многомерных случайных последовательностей, содержащих два, три и более независимых индекса. Следует особо подчеркнуть тот факт, что статистика дробных моментов (СДМ), предлагаемая в этой работе, совершенно свободна от каких-либо модельных (априорных) представлений и предположений о природе случайности и поэтому может быть эффективно использована для количественного сравнения произвольных случайных последовательностей, используя для этой цели набор подгоночных параметров, получаемых из сравнения соответствующих ФОС. Найдено соотношение между величиной дробного момента и параметром неэкстенсивности $q$, входящим в обобщенное определение энтропии, предложенное К. Цаллисом. Для доказательства сверхчувствительности метода, основанного на статистике дробных моментов (СДМ), рассмотрена важная проблема по защите пластиковых карточек, товарных знаков и других ценных документов от подделок. Некоторые поучительные примеры детектирования сверхслабых ($S/N=10^{-2}$, $10^{-3}$) сигналов, полученных на модельных данных и буквально «растворенных» в исходной последовательности, показывают высокую эффективность СДМ и могут быть использованы в качестве исходной базы для дальнейших приложений при сравнении реальных шумов, модифицированных внешним малым фактором. Анализ реальных данных по диэлектрической спектроскопии, реализованный в рамках СДМ, предоставляет уникальную возможность для количественного сравнения каждого отдельного экспериментального измерения и позволяет выразить влияние нейтральной аддитивной добавки с помощью калибровочной кривой без детального знания подгоночной функции, которую невозможно получить для сложных систем в рамках упрощенных моделей.