Накрывающие группы и их приложения: обзор

Дан обзор теорем о накрывающих группах и их приложений. При рассмотрении накрывающего отображения из топологического пространства на топологическую группу естественно возникает вопрос о подъеме групповой структуры с базы накрытия на его накрывающее пространство. Существуют ли на накрывающем пространстве групповые операции, после введения которых это пространство превращается в топологическую группу, а исходное накрывающее отображение – в морфизм топологических групп? Всякое утверждение, в котором дается положительный ответ на этот вопрос для какого-либо класса накрывающих отображений, называется теоремой о накрывающей группе. Представлены основные этапы доказательства теоремы о накрывающей группе для конечнолистных накрывающих отображений из связных топологических пространств на произвольные компактные связные группы. Эта теорема и метод ее доказательства имеют целый ряд интересных приложений в анализе, топологии и топологической алгебре. В настоящем обзоре приведены результаты о накрытиях топологических групп, полученные применением этой теоремы или с использованием аппроксимационной конструкции, построенной при ее доказательстве. К ним относятся теоремы, устанавливающие тесную связь между конечнолистными накрытиями компактных связных абелевых групп и многочленами над банаховыми алгебрами непрерывных функций, которые называются многочленами Вейерштрасса. Говоря неформально, все конечнолистные накрытия компактных связных абелевых групп определяются множествами нулей простых многочленов Вейерштрасса. Рассмотрены связные накрытия $P$ -адических соленоидов. Полное описание таких конечнолистных накрытий получается с использованием упомянутой выше аппроксимационной конструкции. Описаны приложения теорем о накрывающих группах и их следствий к исследованию структуры конечнолистных накрытий и к проблеме существования обобщенных средних на топологических группах. Рассмотрены также приложения, связанные со свойствами решений алгебраических уравнений с непрерывными коэффициентами.