Сеточный метод решения квазилинейных эллиптических уравнений четвертого порядка

Предлагается и исследуется смешанный метод конечных элементов решения задачи Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения четвертого порядка дивергентного вида. Предполагается, что область, в которой решается задача, ограничена и имеет размерность, большую или равную двум. При построении конечноэлементной схемы в качестве вспомогательных переменных выбираются все вторые производные искомого решения. При этом используется обычная триангуляция области лагранжевыми симплициальными (треугольными) элементами порядка не ниже двух. Доказывается существование приближенного решения при любом значении параметра дискретизации, если оператор исходной задачи удовлетворяет обычным условиям ограниченной нелинейности и коэрцитивности. Единственность приближенного решения устанавливается при более жестких ограничениях липшиц-непрерывности и сильной монотонности дифференциального оператора. При этих же условиях конструируется двуслойный итерационный процесс с оценкой скорости сходимости, не зависящей от параметра дискретизации. Получены оценки точности приближенного решения, которые в случае линейности дифференциального уравнения оказываются оптимальными. Приводятся результаты применения предлагаемой методики к решению задачи о равновесии тонкой упругой пластины.