О способах задания перестановок на множествах наборов из элементов конечного поля

Рассмотрена следующая задача. Пусть $S=S_1\times S_2\times \cdots \times S_m$ — декартово произведение подмножеств $S_i$, являющихся подгруппами мультипликативной группы конечного поля ${\mathbb F}_q$ из $q$ элементов или их расширениями путём добавления нулевого элемента. Отображение $f: S\rightarrow S$ множества $S$ в себя может быть задано системой многочленов $f_1, \dots, f_m\in {\mathbb F}_q [x_1, \dots, x_m ]$. Получены необходимые и достаточные условия, при которых отображение $f=\langle f_1, \dots ,f_m\rangle$ является биективным, то есть взаимно однозначным. Затем эта задача обобщена на случай, когда подмножества $S_i$ являются любыми подмножествами в ${\mathbb F}_q$. Полученные результаты могут быть использованы при построении таблиц замен ($S$-box) и перестановок ($P$-box) в блочных шифрах, а также при вычислении групп автоморфизмов кодов с исправлением ошибок.