On an analog of the M. G. Krein theorem for measurable operators

Пусть алгебра фон Неймана операторов ${\mathcal M}$ действует в гильбертовом пространстве $\mathcal H$ и $\tau$ — точный нормальный полуконечный след на $\mathcal{M}$. Пусть $\mu_t(T)$, $t>0$, — перестановка $\tau$-измеримого оператора $T$. Пусть $\tau$-измеримый оператор $A$ такой, что $\mu_t(A)>0$ для всех $t>0$ и пусть $\mu_{2t}(A)/\mu_t(A) \to 1$ при $t \to \infty$. Пусть $\tau$-компактный оператор $S$ такой, что оператор $I+S$ является обратимым справа, где $I$ — единица алгебры ${\mathcal M}$. Тогда для $\tau$-измеримого оператора $B$ такого, что $A=B(I+S)$, имеем $\mu_{t}(A)/\mu_t(B) \to 1$ при $t \to \infty$. Это является аналогом теоремы М.Г. Крейна (для $\mathcal{M}=\mathcal{B}(\mathcal{H})$ и $\tau =\mathrm{tr}$ (теорема 11.4, гл. V, [Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. — М.: Наука, 1965. — 448 с.]), для $\tau$-измеримых операторов.