О выходе из множества Гахова по семейству классов Авхадиева

Профессору Ф. Г. Авхадиеву принадлежит решающая роль в становлении теории конечнолистности для классов голоморфных функций с ограниченным искажением. Такие классы будем называть классами Авхадиева, а их элементы – функциями Авхадиева. В настоящей заметке прослежены взаимосвязи указанных классов с множеством Гахова $\mathcal G$, состоящим из всех голоморфных и локально однолистных функций $f$ в единичном круге $\mathbb D$ с (не более чем) единственным корнем уравнения Гахова в $\mathbb D$. В частности, для однопараметрической серии классов Авхадиева, строящейся на лучах $\alpha\ln f'$, $\alpha\ge0$, причем $|f'(\zeta)|\in(e^{-\pi/2},e^{\pi/2})$, $\zeta\in\mathbb D$, и $f''(0)=0$, показано, что гаховский барьер (значение параметра выхода из $\mathcal G$) данной серии совпадает с ее авхадиевским барьером (значением параметра выхода из класса однолистности), и вычислено экстремальное семейство функций Авхадиева, характеризуемое тем, что для него индивидуальный параметр выхода из $\mathcal G$ совпадает с гаховским барьером для серии в целом.