О приближенном методе решения задачи совместного движения поверхностных и подземных вод с точной аппроксимацией линии разреза

В работе рассматривается начально-краевая задача для системы двух нелинейных параболических уравнений, одно из которых задано в ограниченной области $\Omega\subset R^2$, второе – вдоль кривой, расположенной в $\overline\Omega$. Оба уравнения относятся к классу параболических уравнений с двойным вырождением: вырождение может присутствовать в пространственном операторе, и кроме того, нелинейная функция, стоящая под знаком частной производной по переменной $t$, может быть не отделена от нуля. Рассматриваемая задача имеет прикладной характер: подобная структура возникает при математическом описании процесса совместного движения поверхностных и подземных вод. В этом случае искомая функция определяет уровень воды над заданным непроницаемым основанием, разрез моделирует русло реки или канала. Для математического описания процесса фильтрации подземных вод в области $\Omega$ используется уравнение Буссинеска, на разрезе для описания процесса изменения уровня воды в открытом русле – диффузионный аналог системы Сен-Венана.
Ранее авторами были доказаны теоремы существование и единственности обобщенного решения рассматриваемой задачи из классов функций, которые в литературе получили название усиленных пространств Соболева. При получении этих результатов существенно была использована техника, созданная немецкими математиками Х. В. Альтом (H. W. Alt), С. Лукхаусом (S. Luckhaus) и Ф. Отто (F. Otto) для установления корректности задач с двойным вырождением.
В настоящей работе предлагается и исследуется приближенный метод решения указанной выше задачи, построенный с помощью полудискретизации по переменной $t$ и метода конечных элементов по пространственным переменным. Триангуляция области осуществляется треугольниками, при этом на линии разреза задается сетка. На каждом участке линии разреза, расположенном между соседними точками сетки, с обеих сторон строятся треугольники с общей стороной, совпадающей с выбранным участком линии разреза. Триангуляция оставшейся области проводится традиционно обычными треугольниками. В работе доказаны существование приближенного решения. Получен ряд априорных оценок. Доказана сходимость построенного алгоритма.