Оценки градиента гиперболического радиуса и неравенства типа Шварца–Пика для эксцентрического кольца

Пусть $\Omega$ и $\Pi$ – гиперболические области в комплексной плоскости $\mathbb C$. Через $A(\Omega,\Pi)$ обозначим класс функций $f$, локально голоморфных или мероморфных в $\Omega$ и таких, что $f(\Omega)\subset\Pi$. Одним из центральных вопросов геометрической теории функций являются оценки высших производных $|f^{(n)}(z)|$ аналитических функций из класса $A(\Omega,\Pi)$ с штрафным множителем $C_n(\Omega,\Pi)$. Эти оценки принято называть неравенствами типа Шварца–Пика. Большое количество результатов по данной тематике получено для односвязных областей. Поэтому естественным является интерес к исследованию подобных задач для конечносвязных областей. Известно, что для любых пар гиперболических областей константа $C_2(\Omega,\Pi)$ зависит лишь от величины градиента гиперболического радиуса соответствующих областей. В настоящей работе получены оценки градиента гиперболического радиуса и штрафного множителя в неравенстве типа Шварца–Пика для эксцентрического кольца и рассмотрен предельный случай – круг с произвольно выколотой точкой.