On random weighted sum of positive semi-definite matrices

Пусть $A_1, \dots, A_n$ – фиксированные положительно полуопределенные матрицы, т.е. $A_i \in \mathbb{S}_p^{+}(\mathbf{R}) \ \forall\, i \in \{1, \dots, n\},$ и $u_1, \dots, u_n$ – независимые одинаково определенные случайные величины, т.е. $u_i \sim \mathcal{N}(1, 1).$ Нас будет интересовать следующая вероятность:
$$\mathbb{P}\bigg(\sum_{i=1}^n u_i A_i \in \mathbb{S}_p^{+}(\mathbf{R})\bigg).$$
В данной статье мы исследуем вышеупомянутую вероятность для попарно коммутирующих матриц. При достаточно общих условиях мы доказали, что взвешенная сумма данных матриц с очень большой вероятностью тоже будет положительно полуопределенной. Эта вероятность экспоненциально стремится к $1$ в зависимости от количества матриц $n$ и не зависит от размерности матриц $p$.