On $\lambda$-definability of arithmetical functions with indeterminate values of arguments

В работе рассматриваются арифметические функции с неопределенными значениями аргументов. Известно, что всякая $\lambda$-определимая арифметическая функция с неопределенными значениями аргументов является монотонной и вычислимой. Доказывается $\lambda$-определимость всякой вычислимой, монотонной, $1$-местной арифметической функции с неопределенными значениями аргументов. Для вычислимых, монотонных, $k$-местных $(k\geq 2)$ арифметических функций с неопределенными значениями аргументов определяется так называемое диагональное свойство, при выполнении которого такие функции не будут $\lambda$-определимыми. Для любого $k\geq 2$ доказывается алгоритмическая неразрешимость проблемы $\lambda$-определимости для вычислимых, монотонных, $k$-местных арифметических функций с неопределенными значениями аргументов, доказывается также алгоритмическая неразрешимость диагонального свойства таких функций.