Ural Mathematical Journal
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Ural Math. J.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Ural Mathematical Journal, 2023, том 9, выпуск 1, страницы 187–200
DOI: https://doi.org/10.15826/umj.2023.1.017
(Mi umj199)
 

On one Zalcman problem for the mean value operator

Natalia P. Volchkovaa, Vitaliy V. Volchkovb

a Donetsk National Technical University
b Donetsk State University
Список литературы:
Аннотация: Let $\mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ and $\mathcal{E}'(\mathbb{R}^n)$ be the spaces of distributions and compactly supported distributions on $\mathbb{R}^n$, $n\geq 2$, respectively, let $\mathcal{E}'_{\natural}(\mathbb{R}^n)$ be the space of all radial (invariant under rotations of the space $\mathbb{R}^n$) distributions in $\mathcal{E}'(\mathbb{R}^n)$, let $\widetilde{T}$ be the spherical transform (Fourier–Bessel transform) of a distribution $T\in\mathcal{E}'_{\natural}(\mathbb{R}^n)$, and let $\mathcal{Z}_{+}(\widetilde{T})$ be the set of all zeros of an even entire function $\widetilde{T}$ lying in the half-plane $\mathrm{Re} \, z\geq 0$ and not belonging to the negative part of the imaginary axis. Let $\sigma_{r}$ be the surface delta function concentrated on the sphere $S_r=\{x\in\mathbb{R}^n: |x|=r\}$. The problem of L. Zalcman on reconstructing a distribution $f\in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ from known convolutions $f\ast \sigma_{r_1}$ and $f\ast \sigma_{r_2}$ is studied. This problem is correctly posed only under the condition $r_1/r_2\notin M_n$, where $M_n$ is the set of all possible ratios of positive zeros of the Bessel function $J_{n/2-1}$. The paper shows that if $r_1/r_2\notin M_n$, then an arbitrary distribution $f\in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ can be expanded into an unconditionally convergent series
$$ f=\sum\limits_{\lambda\in\mathcal{Z}_{+}( \widetilde{\Omega}_{r_1})}\,\,\, \sum\limits_{\mu\in\mathcal{Z}_+(\widetilde{\Omega}_{r_2})} \frac{4\lambda\mu}{(\lambda^2-\mu^2) \widetilde{\Omega}_{r_1}^{\,\,\,\displaystyle{'}}(\lambda)\widetilde{\Omega}_{r_2}^{\,\,\,\displaystyle{'}}(\mu)}\Big (P_{r_2} (\Delta) \big((f\ast\sigma_{r_2})\ast \Omega_{r_1}^{\lambda}\big) -P_{r_1} (\Delta) \big((f\ast\sigma_{r_1})\ast \Omega_{r_2}^{\mu}\big)\Big) $$
in the space $\mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$, where $\Delta$ is the Laplace operator in $\mathbb{R}^n$, $P_r$ is an explicitly given polynomial of degree $[(n+5)/4]$, and $\Omega_{r}$ and $\Omega_{r}^{\lambda}$ are explicitly constructed radial distributions supported in the ball $ |x|\leq r$. The proof uses the methods of harmonic analysis, as well as the theory of entire and special functions. By a similar technique, it is possible to obtain inversion formulas for other convolution operators with radial distributions.
Ключевые слова: compactly supported distributions, Fourier–Bessel transform, two-radii theorem, inversion formulas.
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
Язык публикации: английский
Образец цитирования: Natalia P. Volchkova, Vitaliy V. Volchkov, “On one Zalcman problem for the mean value operator”, Ural Math. J., 9:1 (2023), 187–200
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{VolVol23}
\by Natalia~P.~Volchkova, Vitaliy~V.~Volchkov
\paper On one Zalcman problem for the mean value operator
\jour Ural Math. J.
\yr 2023
\vol 9
\issue 1
\pages 187--200
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/umj199}
\crossref{https://doi.org/10.15826/umj.2023.1.017}
\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=54265317}
\edn{https://elibrary.ru/IYYMOX}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/umj199
  • https://www.mathnet.ru/rus/umj/v9/i1/p187
  • Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Ural Mathematical Journal
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024