Лагранжевы уравнения движения частиц и фотонов в шварцшильдовском поле

Рассматриваются уравнения движения частицы в гравитационном поле чёрной дыры, сформулированные на языке обобщённых координат, скоростей и ускорений. Эти уравнения удобны для отыскания интегралов движения. Уравнения переписываются через физические скорости и ускорения, измеряемые неподвижным в шварцшильдовской системе наблюдателем, использующим собственные, местные эталоны длины и времени. Сила притяжения полем и центростремительное ускорение частицы пропорциональны её кинетической энергии $m/\sqrt{1 - v^2}$. Это согласуется с одинаковым ростом в поле кинетической энергии частицы и энергии $\hbar\omega$ фотона по сравнению с их значениями вне поля. Притяжение частиц и фотонов к источнику гравитационного поля пропорционально их кинетическим энергиям. Траектория частицы в ультрарелятивистском пределе $v \to 1$ совпадает с траекторией фотона.