Кулоновская задача с зарядом ядра $Z>Z_{\rm cr}$

Получено замкнутое уравнение для критического заряда ядра, т.е. такого значения $Z=Z_{\rm cr}$, при котором дискретный уровень с дираковским квантовым числом $\kappa$ достигает границы нижнего континуума решений уравнения Дирака. В модели с прямоугольным обрезанием кулоновского потенциала на малых расстояниях, $r_{0} = R{\hbar}/(mc)$, $R \ll {1}$, определены критические значения заряда ядра для нескольких значений $\kappa$ при различных радиусах обрезания. Показано, что парциальная матрица упругого рассеяния позитронов на ядре, $S_{\kappa}$ = exp$(2i\delta_{\kappa}$ $(\varepsilon_{\rm p}))$, унитарна и при $Z>Z_{\rm cr}$. Для $Z>Z_{\rm cr}$ вычислены фаза рассеяния $\delta_{\kappa}$ $(\varepsilon_{\rm p})$ как функция энергии позитронов $E_{\rm p}$ = $\varepsilon_{\rm p} mc^{2}$, а также положения и ширины квазистационарных уровней, отвечающих полюсам матрицы рассеяния. Это означает, что не только при $Z<Z_{\rm cr}$, но и при $Z>Z_{\rm cr}$ справедливо одночастичное приближение для уравнения Дирака и спонтанное рождение ${\rm e}^+{\rm e}^-$-пар из вакуума отсутствует.