Явный вид решения задачи Коши для уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью

Для линейного дифференциального уравнения в частных производных, моделирующего эволюцию свободной поверхности фильтрующейся жидкости
$$ \lambda u_t-\Delta_2u_t=\alpha\Delta_2u-\beta\Delta^2_2u+f, $$
где $u(x,y,t)$ – искомая функция, характеризующая напор жидкости, $f=f(x,y,t)$ – заданная функция, учитывающая внешнее воздействие на фильтрационный поток, $\Delta_2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}$ – дифференциальный оператор Лапласа, $\lambda,\alpha,\beta$ – положительные постоянные зависящие от свойств водоносного грунта, получен явный вид решения задачи Коши в пространстве $L_p(R^2)$, $1<p<+\infty$, сведением рассматриваемой задачи фильтрации к решению абстрактной задачи Коши в банаховом пространстве. По временной переменной $t$ решение соответствующего однородного уравнения удовлетворяет полугрупповому свойству. Из полученной оценки решения задачи Коши в пространстве $L_p(R^2)$, $1<p<+\infty$, следует непрерывная зависимость решения от начального данного на любом конечном временном отрезке.