Случайные блуждания на прямой и алгебраические кривые

Данная работа посвящена исследованию на тему производящей функции времени первого достижения положительной полуоси при однородном дискретном целочисленном случайном блуждании на прямой. В первой части работы приращения предполагаются независимыми. Рекуррентные соотношения на вероятности позволяют написать систему уравнений, которой удовлетворяет искомая производящая функция. Применяя технику результантов, удается свести эту систему к одному уравнению. Далее его можно исследовать, вычисляя род соответствующей плоской алгебраической кривой путем анализа ее особенностей. В работе выписаны искомые уравнения для некоторых случайных блужданий и показано, что если приращения принимают с одинаковой вероятностью все целые значения от $-2$ до $2$, или от $-1$ до $3$, или два равновероятных значения $-1$ и $4$, то кривая рациональна, а при общих вероятностях в первом случае это не так.
Во второй части работы процесс рассматривается симметричный, приращения принимают значения $-1, 0, 1$, но зато предполагается ненулевая корреляция каждого следующего приращения с предыдущим. Для такого процесса уравнение на искомую производящую функцию задает эллиптическую кривую, зависящую от квадрата коэффициента корреляции соседних приращений, если все приращения ненулевые, и гиперэллиптическую кривую рода $2$, критерием вырождения которой служит наличие кратных корней у полинома $6$ степени, при общих симметрично распределенных условных вероятностях.