О пространствах Гельфанда-Шилова

В работе, следуя схеме построения пространств Гельфанда-Шилова $S_{\alpha}$ и $S^{\beta}$, с помощью семейства ${\mathcal M} = \{{\mathcal M}_{\nu}\}_{{\nu}=1}^{\infty}$ раздельно радиальных весовых функций ${\mathcal M}_{\nu}$ в ${\mathbb R}^n$ определены два пространства быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций в ${\mathbb R}^n$. Одно из них — пространство ${\mathcal S}_{\mathcal M}$ — внутренний индуктивный предел счетно-нормированных пространств
\begin{equation*} {\mathcal S}_{\mathcal M_{\nu}} = \left\{f \in C^{\infty}({\mathbb R}^n): \Vert f \Vert_{m, \nu} = \sup_{x \in {\mathbb R}^n, \beta \in {\mathbb Z}_+^n, \atop \alpha \in {\mathbb Z}_+^n: \vert \alpha \vert \le m} \frac {\vert x^{\beta}(D^{\alpha}f)(x) \vert}{\mathcal M_{\nu}(\beta)} < \infty, m \in {\mathbb Z}_+ \right\}. \end{equation*}
Аналогичным образом, исходя из нормированных пространств
\begin{equation*} {\mathcal S}_m^{\mathcal M_{\nu}} =\left\{f \in C^{\infty}({\mathbb R}^n): \rho_{m, \nu}(f) = \sup_{x \in {\mathbb R}^n, \alpha \in {\mathbb Z}_+^n} \frac {(1+ \Vert x \Vert)^m \vert (D^{\alpha}f)(x) \vert}{\mathcal M_{\nu}(\alpha)} < \infty \right\}, \end{equation*}
где $m \in {\mathbb Z}_+$, вводится пространство ${\mathcal S}^{\mathcal M}$. Показано, что при определенных естественных условиях на весовые функции преобразование Фурье устанавливает изоморфизм между пространствами ${\mathcal S}_{\mathcal M}$ и ${\mathcal S}^{\mathcal M}$.