О тейлоровских коэффициентах аналитической функции, связанной с эйлеровым числом

Рассматривается классическая конструкция «второго замечательного предела». Ставится вопрос об асимптотически точном описании характера такой аппроксимации числа $e$. В связи с этим требуется информация о поведении коэффициентов степенного разложения функции $f(x)=e^{-1}\,(1+x)^{1/x}$, сходящегося в интервале $-1<x<1$. Выведено рекуррентное правило, регулирующее формирование означенных коэффициентов. Показано, что коэффициенты образуют знакочередующуюся последовательность рациональных чисел $(-1)^n\,a_n$, где $n\in\mathbb{N}\cup\{0\}$ и $a_0=1$, модули которых строго убывают. На основе формулы Фаа ди Бруно для производных сложной функции предложен комбинаторный способ вычисления чисел $a_n$ при $n\in\mathbb{N}$. Исходная функция $f(x)$ есть сужение на вещественный луч $x>-1$ функции $f(z)$, имеющей те же тейлоровские коэффициенты и аналитической в комплексной плоскости $\mathbb{C}$ с разрезом $(-\infty,\,-1]$. Методами комплексного анализа получено интегральное представление для $a_n$ при любом значении параметра $n\in\mathbb{N}$. Доказано, что $a_n\rightarrow 1/e$ при $n\rightarrow\infty$, и найден порядок стремления к нулю разности $a_n-1/e$. Затронут вопрос о выборе контура в интегральной формуле Коши для вычисления тейлоровских коэффициентов $(-1)^n\,a_n$ функции $f(z)$. Посчитаны точные значения возникающих по ходу дела специальных несобственных интегралов. Результаты проведенного исследования позволяют дать серию общих двусторонних оценок уклонения $e-(1+x)^{1/x}$, согласованных с асимптотикой $f(x)$ при $x\rightarrow0$. Обсуждаются возможности применения полученных утверждений.