О точности асимптотической аппроксимации субгармонических функций логарифмом модуля целой функции

Изучается степень возможной точности асимптотической аппроксимации субгармонической функции логарифмом модуля целой функции. Доказано, что если субгармоническая функция $u$ дважды дифференцируема и удовлетворяет условию
$$ m\le|z|\Delta u(z)\le M,\qquad|z|>0, $$
где $M,m>0$, то аппроксимация с точностью $q\ln|z|+O(1)$ с константой $q\in(0,\frac14)$ возможна лишь вне множеств, не являющихся $C_0$-множеством. С другой стороны, показано, что аппроксимация с точностью $q\ln|z|+O(1)$ с константой $q\ge\frac14$ возможна вне множеств, допускающих покрытие кругами $B(z_k,r_k)$ так, что
$$ \sum_{|z_k|\le R}r_k=O(R^{\frac34-q}) $$
при $q\in\bigl[\frac14,\frac34\bigr]$ и
$$ \sum_{|z_k|\ge R}r_k=O(R^{\frac34-q}) $$
при $q>\frac34$. В частности, эти множества являются $C_0$-множествами при $q>\frac14$. Во втором случае аппроксимирующая функция одна и та же для всех $q\ge\frac14$, и эта функция получается небольшой модификацией функций типа синуса, построенных Любарским Ю. и Содиным М.