Тривиальные расширения полугрупп и полугрупповые $C^*$-алгебры

Предметом исследования в статье являются приведенные полугрупповые $C^*$-алгебры для полугрупп, обладающих свойством левого сокращения. Такая алгебра представляет собой очень естественный объект, так как она порождается изометрическими операторами сдвига, принадлежащими образу левого регулярного представления полугруппы с левым сокращением. Эти операторы действуют в гильбертовом пространстве всех квадратично суммируемых комплекснозначных функций, заданных на полугруппе. Изучается вопрос о функториальности инволютивных гомоморфизмов полугрупповых $C^*$-алгебр, то есть вопрос о существовании канонического вложения полугрупповых $C^*$-алгебр, индуцированного вложением соответствующих полугрупп. Для этого мы исследуем приведенные полугрупповые $C^*$-алгебры, которые соответствуют полугруппам, участвующим в построении нормальных расширений полугрупп с помощью групп. При этом в статье рассматривается один из простейших классов расширений полугрупп, а именно, класс так называемых тривиальных расширений. Показывается, что если полугруппа $L$ является тривиальным расширением полугруппы $S$ \linebreak с помощью группы $G$, то существует вложение приведенной полугрупповой $C^*$-алгебры $C^*_r(S)$ в $C^*$-алгебру $C^*_r(L)$, индуцированное вложением $S$ в $L$.
Также в работе вводится и изучается структура банахова $C^*_r(S)$-модуля на подлежащем пространстве приведенной полугрупповой $C^*$-алгебры $C^*_r(L)$. Для этого используется топологическая градуировка $C^*$-алгебры $C^*_r(L)$ над группой $G$.
В случае, когда полугруппа $L$ является тривиальным расширением полугруппы $S$ с помощью конечной группы, доказывается, что на подлежащем банаховом пространстве приведенной полугрупповой $C^*$-алгебры $C^*_r(L)$ существует структура свободного банахова модуля над $C^*$-алгеброй $C^*_r(S)$.
Для более полной характеризации рассматриваемых вопросов и выявления связей с полученными ранее результатами в статье приводятся примеры расширений полугрупп и редуцированных полугрупповых $C^*$-алгебр.