О вырожденности орбит нильпотентных алгебр Ли

В связи с задачей описания голоморфно однородных вещественных гиперповерхностей в статье обсуждаются $7$-мерные орбиты в $ \Bbb C^4 $ двух семейств нильпотентных $7$-мерных алгебр Ли. Подобно нильпотентным $5$-мерным алгебрам голоморфных векторных полей в $ \Bbb C^3 $ большая часть из рассмотренных в статье алгебр не имеет невырожденных по Леви орбит. В частности, отсутствие таких орбит доказано для семейства разложимых $7$-мерных нильпотентных алгебр Ли ($31$ алгебра).
В то же время в семействе из $12$ неразложимых $7$-мерных нильпотентных алгебр Ли, каждая из которых содержит не менее трех абелевых $4$-мерных идеалов, четыре алгебры имеют невырожденные орбиты. У двух алгебр эти гиперповерхности голоморфно эквивалентны квадрикам, а несферические невырожденные орбиты еще двух алгебр представляют собой два голоморфно неэквивалентных обобщения (на случай $4$-мерного комплексного пространства) известной поверхности Винкельманна из пространства $ \Bbb C^3 $. Все орбиты алгебр из второго семейства допускают трубчатые реализации.