Локальные краевые задачи для нагруженного уравнения параболо-гиперболического типа, вырождающегося внутри области

В начале 21-го века изучены краевые задачи для невырождающихся уравнений гиперболического, параболического, гиперболо-параболического и эллиптико-гиперболического типов. В последние годы это направление интенсивно развивалось и уточнено так, что весьма важные задачи математической физики и биологии приводят к краевым задачам для невырождающихся нагруженных уравнений с частными производными. Известно, что краевые задачи для вырождающегося нагруженного уравнения смешанного типа второго порядка ранее не изучены. Это связано, прежде всего, с отсутствием представления общего решения для таких уравнений; с другой стороны, такие задачи сводятся к малоизученным интегральным уравнениям со сдвигом. Исходя из этого, настоящая работа посвящена постановке и исследованию локальных краевых задач для нагруженного уравнения параболо-гиперболического типа, вырождающегося внутри области.
В данной работе найден новый подход для получения представления общего решения для вырождающегося нагруженного уравнения смешанного типа. Единственность решения поставленных задач доказывается методом интегралов энергии. Существования решений поставленных задач эквивалентным образом сводятся к интегральному уравнению Фредгольма и Вольтерра второго рода со сдвигом. Доказана однозначная разрешимость полученных интегральных уравнений.