|
Уфимский математический журнал, 2021, том 13, выпуск 4, страницы 51–64
(Mi ufa591)
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)
Об интегральных представлениях величин, связанных с гамма-функцией
А. Б. Костин, В. Б. Шерстюков Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»,
Каширское шоссе, 31,
115409, г. Москва, Россия
Аннотация:
Изучается круг вопросов, связанных с интегральными представлениями гамма-функции и ее отношений. Основу нашего исследования составляют два классических результата теории функций. Один из них — широко известная первая формула Бине, другой — менее известное представление Мальмстена. Эти специальные формулы выражают значения гамма-функции в открытой правой полуплоскости через соответствующие несобственные интегралы. В работе показано, что оба результата допускают распространение на мнимую ось с исключенной точкой $z=0$. В процессе такого распространения применяются различные методы вещественного и комплексного анализа. Отсюда, в частности, получены интегральные представления для аргумента комплексной величины, являющейся значением гамма-функции в чисто мнимой точке. На основе упомянутой формулы Мальмстена в точках $z\neq0$ из замкнутой правой полуплоскости дан подробный вывод интегрального представления для заданного через гамма-функцию специального отношения $D(z)\equiv\Gamma(z+1/2)/\Gamma(z+1)$. Такой факт на положительной полуоси отмечен без доказательства в небольшой заметке Душана Славича 1975 года. В той же работе приведены при $x>0$ двусторонние оценки величины $D(x)$, которая в натуральных точках совпадает с нормированным центральным биномиальным коэффициентом. Эти оценки означают, что $D(x)$ обвертывается на положительной полуоси своим асимптотическим рядом. В настоящей статье кратко обсуждается вопрос о наличии данного свойства у асимптотического ряда функции $D(z)$ в замкнутом угле $|\arg z|\leqslant\pi/4$ с исключенной вершиной. Из новой формулы, представляющей $D(z)$ на мнимой оси, получены явные выражения для величины $|D(iy)|^2$ и для множества $\mathrm{Arg}\, D(iy)$ при $y>0$. Указан метод доказательства второй формулы Бине, использующий аппарат простых дробей.
Ключевые слова:
гамма-функция, центральный биномиальный коэффициент, асимптотическое разложение, интегральное представление, формулы Бине, Гаусса, Мальмстена, обвертывающий ряд в комплексной плоскости.
Поступила в редакцию: 12.07.2021
Образец цитирования:
А. Б. Костин, В. Б. Шерстюков, “Об интегральных представлениях величин, связанных с гамма-функцией”, Уфимск. матем. журн., 13:4 (2021), 51–64; Ufa Math. J., 13:4 (2021), 50–62
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/ufa591 https://www.mathnet.ru/rus/ufa/v13/i4/p51
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 375 | PDF русской версии: | 157 | PDF английской версии: | 42 | Список литературы: | 15 |
|