Об обобщениях многочленов Чебышева и чисел Каталана

Мы указываем направления возможных обобщений найденных ранее связей между многочленами Чебышева и числами Каталана, возникающими при изучении коммутирующих разностных операторов. Эти обобщения в основном связаны с идеями, высказанными Н.-Х. Абелем в публикации 1826 года, которые излагались на современном языке многими авторами. В качестве обобщений многочленов Чебышева предлагается рассмотреть многочлены ровно с двумя критическими значениями, подробно изученными в так называемой теории детских рисунков. Числа Каталана занимают начальный столбец в таблице чисел Харера–Цагира, связанных с распределением по родам ориентируемых склеек многоугольников с четным числом сторон. Коммутирующие разностные операторы неявно содержатся в теории Абеля, изучавшего квазиэллитические интегралы (эллиптические интегралы 3-го рода, берущиеся в логарифмах); в настоящей работе формулируются предположения о связи основной теоремы Абеля с коммутирующими полубесконечными матрицами. Работа содержит вычисления, подтверждающие намеченные гипотетические связи.