Исследование приближенного решения интегрального уравнения, соответствующего смешанной краевой задаче для уравнения Лапласа

Одним из методов решения внешних краевых задач является ее приведение к интегральному уравнению. Основное преимущество применения метода интегральных уравнений к исследованию внешних краевых задач заключается в том, что подобный подход позволяет свести задачу, поставленную для неограниченной области, к задаче для ограниченной области меньшей размерности. В работе исследуется приближенное решение интегрального уравнения, к которому сводится смешанная краевая задача для уравнения Лапласа. Разыскивая решение смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа в виде комбинации логарифмических потенциалов простого и двойного слоев, смешанная краевая задача для уравнения Лапласа приводится интегральному уравнению, зависящему не только от операторов, порожденных логарифмическими потенциалами, но и от композиции таких операторов. Доказывается, что полученное интегральное уравнение имеет единственное решение в пространстве непрерывных функций.
Так как интегральные уравнения в замкнутом виде решаются лишь в очень редких случаях, первостепенное значение приобретает разработка приближенных методов решения интегральных уравнений с соответствующим теоретическим обоснованием. Поэтому, разбивая кривую на элементарные части, в определенно выбранных опорных точках построены квадратурные формулы для одного класса криволинейных интегралов и для композиции интегралов, порожденных логарифмическими потенциалами, а также оценены погрешности этих квадратурных формул. Пользуясь этими квадратурными формулами, полученное интегральное уравнение заменяется системой алгебраических уравнений. Затем с помощью теоремы Г.М. Вайникко о сходимости для линейных операторных уравнений устанавливается существование и единственность решения этой системы. Доказывается сходимость решения полученной системы алгебраических уравнений к значению в опорных точках точного решения интегрального уравнения. Кроме того, в работе указывается скорость сходимости метода. В результате, построена последовательность, сходящаяся к решению смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа с известной скоростью сходимости.