Нелинейные интегральные уравнения типа свертки в комплексных пространствах

Изучаются различные классы нелинейных интегральных уравнений типа свертки, возникающих в теории следящих систем, моделях популяционной генетики и других. Методом монотонных (по Браудеру-Минти) операторов доказаны глобальные теоремы о существовании, единственности и оценках решений рассматриваемых уравнений в комплексных пространствах Лебега $L_p(\mathbf{R})$ при достаточно легко обозримых ограничениях на нелинейности. При этом, в зависимости от рассматриваемого класса уравнений, предполагается, что либо $p\in (1,2]$, либо $p\in [2,\infty)$. Условия, накладываемые на нелинейности, являются необходимыми и достаточными для того, чтобы порождаемые ими операторы суперпозиции действовали из пространства $L_p(\mathbf{R})$, $1<p<\infty$, в сопряженное с ним пространство $L_q(\mathbf{R})$, $q=p/(p-1)$, и были монотонными. В случае пространства $L_2(\mathbf{R})$, комбинированием метода монотонных операторов и принципа сжимающих отображений, показано, что решения могут быть найдены методом последовательных приближений пикаровского типа и приведены оценки скорости их сходимости. Доказательства существенно используют установленные в работе критерий положительности (по Бохнеру) линейного интегрального оператора свертки в комплексном пространстве Лебега $L_p(\mathbf{R})$ при $1<p\leq 2$ и коэрцитивность оператора, обратного к нелинейному оператору Немыцкого. Полученные результаты в рамках пространства $L_2(\mathbf{R})$ охватывают, в частности, линейные интегральные уравнения типа свертки.