О необходимом и достаточном условии в теории регуляризованных следов

Настоящая работа посвящена изучению формул регуляризованных следов симметрических $L_0$-компактных возмущений дискретного самосопряженного полуограниченного снизу оператора $L_0$ в сепарабельном гильбертовом пространстве. Исследования формул регуляризованных следов возмущений абстрактных самосопряженных дискретных операторов до сих пор, в основном, были направлены на нахождение достаточного условия, при котором равна нулю регуляризованная сумма со скобками с вычетом первой или нескольких поправок теории возмущений. Это условие формулируется в терминах спектральных характеристик невозмущенного оператора $L_0$ в зависимости от принадлежности определенному классу оператора возмущения $V$. В частности, в последнее время интенсивно изучаются формулы следов двумерных модельных операторов математической физики, возмущенных оператором умножения на функцию. Здесь мы исследуем необходимое и достаточное условие для двух случаев: равенства нулю и равенства конечному числу — суммы регуляризованного следа со скобками с вычетом первой поправки теории возмущений. При этом рассматривается конкретная скобка суммирования, которая, как правило, возникает при исследовании формул регуляризованных следов возмущений дифференциальных операторов в частных производных.