Синтезируемые последовательности и главные подмодули в модуле Шварца

Рассматривается модуль целых функций экспоненциального типа и полиномиального роста на вещественной оси (модуль Шварца) с неметризуемой локально-выпуклой топологией. В связи с задачей спектрального синтеза для оператора дифференцирования в пространстве $C^{\infty} (a;b)$ изучаются главные подмодули в этом модуле. В частности, выясняется, какие еще функции, кроме произведений многочленов на порождающую функцию, содержатся в главном подмодуле. Основной результат работы состоит в следующем: несмотря на то, что топология модуля Шварца не является метризуемой, главный подмодуль совпадает с секвенциальным замыканием множества произведений порождающей его функции на многочлены. В качестве одного из следствий основного результата доказывается весовой критерий слабой локализуемости главного подмодуля. Другое следствие относится к недавно введенному А. Барановым и Ю. Беловым понятию «синтезируемой последовательности». Из полученного этими авторами критерия синтезируемости последовательности следует, что синтезируемая последовательность обязательно будет нулевым множеством слабо локализуемого главного подмодуля. В настоящей работе дается положительный ответ на естественно возникающий вопрос о справедливости обратного утверждения. А именно, доказывается, что нулевое множество слабо локализуемого главного подмодуля представляет собой синтезируемую последовательность.