Переопределенная граничная задача Неймана на неограниченных областях

Изучение переопределенных граничных задач для эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных было инициировано Д. Серрином в 1971 г. В своей работе он установил свойство радиальной симметрии для решений некоторой переопределенной задачи Пуассона. Помимо значительного самостоятельного интереса, задачи такого типа имеют важные приложения в теории потенциала, интегральной геометрии, гидродинамике, электростатике и теории капиллярности. Как правило, их решение основано на принципе максимума, лемме Хопфа об угловой граничной точке и методе движения гиперплоскостей, введенным А.Д. Александровым для изучения некоторых геометрических проблем, связанных с характеризацией сфер. Среди других, более современных методов, не использующих принцип максимума в рассматриваемых задачах, отметим метод двойственности, метод объемной производной, а также интегральный метод.
В данной статье рассматривается переопределенная задача Неймана для уравнения Лапласа $\Delta f=0$ на плоских неограниченных областях. Показано, что при определенных условиях (см. теорему 2.1 в § 1) такая задача разрешима только для внешности круга. Отличительной особенностью теоремы 2.1 является то, что в ней впервые в подобных задачах получено точное условие на рост $f$ на бесконечности. Кроме того, как видно из теоремы 2.2 в § 2, другие условия в теореме 2.1 также необходимы. В отличие от работ предшественников, доказательство теоремы 2.1 использует некоторые граничные свойства конформных отображений, теорему В.И. Смирнова о функциях класса $H_p$ и теорему Фейера-Рисса о неотрицательных тригонометрических полиномах.