|
Уфимский математический журнал, 2019, том 11, выпуск 1, страницы 39–60
(Mi ufa459)
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях)
Об изоморфности некоторых функциональных пространств при действии интегро-дифференциальных операторов
С. Б. Климентовab a Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8-а, 344090, г. Ростов-на-Дону, Россия
b ЮМИ ВНЦ РАН
Аннотация:
Рассматриваются представления «второго рода» для решений общей линейной равномерно эллиптической системы первого порядка в единичном круге ${D= \{z : |z| \leq 1\}}$ в комплексной записи
\begin{equation*}
\mathcal D w \equiv \partial_{\bar z} w + q_1(z) \partial_z w + q_2(z) \partial_{\bar z} \overline w +A(z)w+B(z) \overline w=R(z),
\end{equation*}
где $w=w(z)=u(z)+iv(z)$ — искомая комплексная функция,
$q_1(z)$ и $q_2(z)$ — заданные измеримые комплексные функции, удовлетворяющие условию равномерной эллиптичности системы
\begin{equation*}
|q_1(z)| + |q_2(z)| \leq q_0 = {\rm const}<1,\, z\in \overline D,
\end{equation*}
$A(z),\,B(z), \,R(z)\in L_p(\overline D),\,p>2$, — также заданные комплексные функции.
Представление второго рода основывается на известной формуле Помпейю:
если $w\in W^1_p(\overline D)$, $p>2$, то
\begin{equation*}
\displaystyle w(z) = \dfrac{1}{2 \pi i} \int\limits_{\Gamma} \dfrac{w(\zeta)}{\zeta-z}d \zeta - \dfrac{1}{\pi}\iint\limits_D \dfrac{\partial w}{\partial \bar z} \cdot \dfrac{d \xi d \eta}{\zeta-z},
\end{equation*}
откуда для данного решения $w \in W^1_p(\overline D)$, $p>2$,
при $A(z),\,B(z),\,R(z)\in L_p(\overline D)$ можно записать представление второго рода
\begin{equation*}
\Omega(w) = \dfrac{1}{2 \pi i} \int\limits_{\Gamma} \dfrac{w(\zeta)}{\zeta-z}d \zeta +TR(z)
\end{equation*}
где $ \Omega(w) \equiv w(z) + T ( q_1(z) \partial_z w + q_2(z) \partial_{\bar z} \overline w +A(z)w + B(z) \overline w).$
Установлено, что при определённых предположениях о коэффициентах и свободном члене системы оператор $\Omega$ есть изоморфизм банаховых пространств $C^k_\alpha(\overline D)$ и $W^k_p(\overline D)$, $k\geq 1$, $0<\alpha<1$, $p>2$. Эти результаты развивают и дополняют работы Б.В. Боярского, где получены представления «первого рода», а также работы автора по представлениям «второго рода» с более сложными операторами.
В качестве следствия свойств оператора $\Omega$ получены следующие априорные оценки для норм $\|w\|_{C^{k+1}_{\alpha}(\overline D)}$ и $\|w\|_{W^{k}_{p}(\overline D)}$.
Ключевые слова:
общая линейная эллиптическая система первого порядка, представление второго рода.
Поступила в редакцию: 02.06.2017
Образец цитирования:
С. Б. Климентов, “Об изоморфности некоторых функциональных пространств при действии интегро-дифференциальных операторов”, Уфимск. матем. журн., 11:1 (2019), 39–60; Ufa Math. J., 11:1 (2019), 42–62
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/ufa459 https://www.mathnet.ru/rus/ufa/v11/i1/p39
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 319 | PDF русской версии: | 81 | PDF английской версии: | 12 | Список литературы: | 32 |
|