Возмущение нелинейного уравнения второго порядка дельта-образным потенциалом

Рассматриваются краевые задачи на ограниченных и неограниченных интервалах $I$ числовой оси для одномерного квазилинейного уравнения второго порядка. Уравнение возмущено дельта-образным потенциалом $\varepsilon^{-1}Q\left(\varepsilon^{-1}x\right)$, где $Q(\xi)$ — финитная функция, $0<\varepsilon\ll 1$. Cреднее значение $\left<Q\right>$ может быть и отрицательным, но ограничено снизу $\left<Q\right>\ge-m_0$. Число $m_0$ определяется коэффициентами уравнения. Изучается вопрос о скорости стремления решения возмущенной задачи $u^\varepsilon$ к решению предельной задачи $u_0$ при стремлении параметра $\varepsilon$ к нулю. В случае ограниченного интервала $I$ установлена оценка вида $|u^\varepsilon(x)-u_0(x)|<C\varepsilon.$ Для неограниченного интервала $I$ установлена более слабая оценка $|u^\varepsilon(x)-u_0(x)|<C\varepsilon^{1/2}.$ Доказательства оценок получены использованием оригинальных срезающих функций в качестве пробных функций. Для простоты рассуждений доказательство существования решений возмущенной и предельной задач проведено методом сжимающих отображений. Недостатком такого подхода, как известно, является требование малости нелинейностей, входящих в уравнение. Рассмотрены граничные условия первого, второго и третьего типа.